هندسة المثلثات
هندسة المثلثات
إنّ هندسة المثلثات موضوع شيق جداً ومهم جداً في العديد من المجالات؛ خاصةً الرياضيات والفيزياء والهندسة، فهي تُساعد في حل العديد من المشكلات التي تواجه الطلبة والباحثين. على سبيل المثال، فإننا نستطيع اشتقاق علاقة تمدد الزمن في النسبية الخاصة لآينشتاين باستخدام حساب بسيط مبني على معرفتنا بقواعد الرياضيات الأساسية المُتعلّقة في المثلثات المستوية أو بكلماتٍ أخرى التي تخضع للهندسة الإقليدية.
يوجد نوعان من المثلثات؛ المثلثات المستوية، والتي هي تخضع لقوانين الهندسة الإقليدية؛ بحيث أنّ مجموع زوايا المثلث المستوي هو 180 درجة،[٢] وأيضاً المثلثات الكروية، والتي هي تخضع لقوانين الهندسة الكروية (هي لا تخضع لقوانين هندسة إقليدس المستوية، لذلك الهندسة الكروية تعتبر فرع من الهندسة اللا-إقليدية)؛ بحيث أنّ أضلاع المثلث الكروي ستكون أوتار من دوائر عظمى (الدائرة العظمى هي الدائرة المرسومة على سطح الكرة ولها نفس مركز الكرة)، وستكون مجموع زوايا المثلث الكروي أكبر من 180 درجة وأقل من 540 درجة.
أما بالنسبة لارتفاع المثلث، ففي بعض الأحيان من المهم جداً لنا معرفة ارتفاع المثلث، لربما لغايات هندسية أكثر منها رياضية، لذلك لابد من وجود طريقة فعالة لمعرفة هذه المعلومة. يُعرّف ارتفاع المثلث بأنّه الخط العمودي المُمتدّ من واحدة من العقد وحتى الضلع المقابل لها، ويوجد العديد من الطرق لإيجاد ارتفاع المثلث، إما بالقياس المباشر، أو بطرق حسابية ممزوجة ببعض الحِيَل الرياضية المفيدة.
طريقة حساب ارتفاع المثلث يوجد العديد من الطرق لحساب ارتفاع مثلث ما، ولكن في هذا المقال سيتمّ الاكتفاء بالحديث عن ثلاث حالات، وهم كما يلي: الحالة الأولى يوجد العديد من الطرق الرياضية لحساب ارتفاع مثلث ما، ولربما أول ما سيخطر في بال المرء هو حسابه باستخدام المساحة؛ حيثُ تعتمد هذه الطريقة على العلاقة الرياضية المساحة= (نصف طول القاعدة) × (الارتفاع)، ولو قمنا بإجراء جبري بسيط لجعل الارتفاع هو موضوع القانون، فستصبح: الارتفاع= (2 × المساحة)/(طول القاعدة).
الحالة الثانية في حال أنّه طُلب منا إيجاد المساحة بدون معرفتنا للارتفاع، أو طُلِبَ منا حساب الارتفاع دون أن يكون مُعطى معنا مقدار مساحة المثلث، ولنقل أنّه لدينا مثلث متساوي الأضلاع، فإنّه يجب علينا -باستخدام الرسم- إنزال عامود من واحدة من العُقَد حتى يلامس الضلع المقابل لهذه العقدة، وبهذا سيصبح لدينا مثلث قائم الزاوية، بعد ذلك سنعيد تسمية أضلاع المثلث قائم الزاوية الجديد لدينا، ولنسمِّ أضلاعه ح-ط-ي، وليكن الضلع ح هو العامود الذي قمنا بإنزاله والذي يمثل الارتفاع، والضلع ي هو الوتر، والضلع ط يمتلك نصف طول الضلع الذي أنزلنا العامودي عليه، وإذا قمنا باستعمال نظرية فيثاغوروس والتي هي: ي2= ح2 + ط2، ولكن نحن مهتمّين بإيجاد الارتفاع والذي هو الضلع ح، لذلك نكتب ح2= ي2 - ط2، بعد ذلك نأخذ الجذر التربيعي للناتج من المعادلة الأخيرة، وبهذا نكون قد وجدنا ارتفاع المثلث دون الحاجة لمعرفة مساحته
الحالة الثالثة يمكن أيضاً حساب ارتفاع المثلث عن طريق حساب مساحته أولاً باستخدام علاقة هيرون (بالإنجليزية: Heron's Formula)؛ حيثُ يمكن حساب مساحة المثلث إذا كُنّا نعرف أطوال جميع أضلاعه؛ حيثُ إننا سنقوم بحساب نصف محيط المثلث "ن": (ن= (أ+ب+ج)/2)؛ حيثُ إن أ، ب، ج هي أطوال أضلاع المثلث، الآن يمكن حساب مساحة المثلث من خلال: المساحة=[ن(ن-أ)(ن-ب)(ن-ج)]½، بعد ذلك يمكن حساب الارتفاع من خلال إنزال خط عمودي من أي مكان، ومن ثمّ بعدها نُطبّق قاعدة الارتفاع= (2 × المساحة)/(طول القاعدة).[٩] المثلثات المستوية المثلث متساوي الساقين هو عبارة عن مضلع ثلاثي، بكلمات أخرى شكل هندسي يمتلك ثلاثة أضلاع متصلة ببعضها البعض في نقاط معينة وهذه الأضلاع تقوم بحصر مساحة ما تعرف بمساحة المثلث، والمثلث المستوي يكون مرسوماً على سطحٍ مستوٍ؛ حيث إنّه سيخضع للهندسة المستوية (الهندسة الإقليدية) في العلاقات الرياضية التي تُحدّد خصائصه. كلُّ مثلث مستوي يمتلك ثلاثة أضلاع وثلاثة زوايا، ويمكن دراسة العلاقة في ما بين هذه الأضلاع والزوايا عن طريق ما يعرف بهندسة المثلث، وهي فرع من الهندسة الإقليدية، والتي تُظهِر لنا دائماً العديد من النتائج المذهلة والمشوقة.
زوايا المثلث هي العقد التي تجمع أضلاع المثلث الثلاثة، وعادةً ما يُسمّى المثلث على اسم هذه العُقَد، مثلاً نُسمّي المثلث أ-ب-ج، والذي هو يمتلك ثلاث أضلاع وثلاث زوايا عند العقدة أ، والعقدة ب، والعقدة ج؛ حيثُ إنّ العقدة هي نقطة التقاء ضلعين من أضلاع المثلث، والعُرف الرياضي المُتعارف عليه هو تسمية هذه العُقَد بعكس عقارب الساعة؛ أي أنّنا نسمي أيَّ عقدةٍ (أ)، ثم نتحرك عكس عقارب الساعة حتى نجد العقدة التالية ونسميها ب، وكذلك الأمر بالنسبة للعقدة ج.[٢] يمكن الربط بين العناصر المُكوّنة للمثلث بشكل أساسي باستخدام قانون الجيب وقانون الجتا؛ بحيث أنّه من الكافي معرفة 3 معلومات عن المثلث (مثل زاويتين وضلع)، وباستخدام هذين القانونين سيمكننا معرفة باقي المعلومات عن أضلاع وزوايا المثلث (بالتأكيد لا يمكننا نسيان الحالة الشهيرة الخاصة والتي هي حالة المثلث قائم الزاوية والذي هو يخضع لنظرية فيثاغوروس أسهل الحالات، ومنها نستطيع تعريف الجيب على أنّه الضلع المقابل مقسوماً على الوتر، والجتا على أنّه الضلع المجاور مقسوماً على الوتر).[١٠][٧] أنواع المثلثات يُمكِن تصنيف المثلثات بناءً على أضلاعها وزواياها كما يلي:[٢] إذا كانت جميع زوايا المثلث حادة، فإنّه يمكن القول عنه بأنّه مثلّث حاد (بالإنجليزية: Acute Triangle). إذا كانت واحدة من زوايا المثلث منفرجة، فإنه يمكن القول عنه بأنّه مثلث منفرج (بالإنجليزية: Obtuse Triangle). إذا كانت واحدة من زوايا المثلث قائمة، فإنه يمكن القول عنه أنّه مثلث قائم الزاوية (بالإنجليزية: Right Angle Triangle). إذا كانت جميع زوايا المثلث 60 درجة، فإنّ أضلاعه ستكون متساوية، ويُسمّى مثلث متساوي الأضلاع (بالإنجليزية: Equilateral Triangle). إذا كان المثلث ذا ضلعين متساويين، فإن الزوايا المقابلة لهذين الضلعين ستكونان متساويتان، ويسمى المثلث هذا بالمثلث متساوي الساقين (بالإنجليزية: Isosceles Triangle).
رد مع اقتباس