في نهاية السبعينيات من القرن العشرين نشرت احدى المجلات الامريكية احجية منطقية تعتمد على توزيع الارقام بشكل توافقي, اطلق على تلك الاحجية اسم لعبة ( السودوكو) والتي تعني الارقام الصغيرة. ولم تمض الا عدة سنوات حتى تحولت هذه اللعبة الى اليابان واصبحت اللعبة الشعبية هناك, قبل ان تصبح لعبة عالمية منذ عام 2005.
ان مبدأ لعبة السودوكو بسيط, فهي وبخلاف لعبة الكلمات المتقاطعة لا تحتاج الى اي مستوً من الثقافة العامة حتى يتمكن اي فرد من لعبها. فلعبة السودوكو المعتادة عبارة عن مربع كبير مؤلف من 9 مربعات اصغر حجما, وكل مربع من هذه المربعات يتكون من 9 مربعات صغيرة, وفي النهاية لدينا 81 مربعا تملأ الارقام بعضها. مهمة اللاعب ان يملأ جميع تلك المربعات بالارقام من 1 الى تسعة, على ان لا يتكرر اي رقم في عمود او صف او احد المربعات متوسطة الحجم التي يتشكل منها المربع الكبير.
واذا كانت لعبة السودوكو قد وُجدت في القرن الماضي كما اسلفنا, فان جذورها تعود في الواقع الى القرن الثامن عشر, عندما الهمت الحسابات العالم السويسري الشهير ليونهارت اويلر ( Leonhard Euler) على ابتكار مربع مكوّن من خانات صغيرة عددها (3x3) على ان تحتوي كل خانة على رمز واحد لا يتكرر في صف او عمود, مما يعني ان حاصل جمع كل عمود افقي يساوي حاصل جمع كل عمود افقي. أُطلق على هذا المربع اسم
المربع اللاتيني (Latin squre), والسبب ان اويلر استخدم الحروف اللاتينية ( a,b,c) لملأ خانات المربع بها.
وفي البدأ اطلق اويلر على مربعه الجديد اسم ( المربع السحري), ولكن في الواقع فان المربع اللاتيني يختلف عن السحري ـ الذي مرّ الحديث عنه في موضوع اخر ـ بامرين: فنحن غير ملزمين باستخدام الارقام فقط او الية تعبئة معينة في المربع اللاتيني. فكما نرى يمكن استخدام الحروف من اي لغة كانت دون الحاجة الى الالتزام بنظام معين. والامر الثاني انه في المربع السحري يُفترض ان يتساوى ناتج جمع صف مع ناتج جمع كل عمود وكذلك مع ناتج جمع كل واحد من القطرين الرئيسين, وهو امر لا يتحقق في المربع اللاتيني.
لتوضيح المربع اللاتيني نفترض المثال التالي: انك تريد القيام بعمل تحدي ما بين مجموعتين من 6 اشخاص, كل مجموعة تتألف من 3 اشخاص, على ان يواجه كل فرد من كل مجموعة عضوا اخرا من المجموعة المنافسة. واخترت ايام الاحد والثلاثاء والخميس للقيام بالتحدي. ولنفترض ان اسماء اعضاء المجموعة الاولى تبدأ بالحروف (A, D, L) والمجموعة الثانية ( K, S, T). ان افضل طريقة لتنظيم اوقات التحدي بحيث لا يكون اي تعارض بينها هي تصميم مربعا لاتينيا كالتالي:
| A |
D |
L |
|
| الخميس |
الثلاثاء |
الاحد |
K |
| الاحد |
الخميس |
الثلاثاء |
S |
| الثلاثاء |
الاحد |
الخميس |
T |
فكما نلاحظ مثلا ان A من المجموعة الاولى يواجه خصمه K من المجموعة الثانية في يوم الخميس ويواجه S في يوم الاثنين واخيرا يواجه T في يوم الثلاثاء.
لنفترض الان ان التحدي عبارة عن منافسة علمية في مادة الرياضيات والفيزياء والكيمياء. والمطلوب الان ان يتحدى كل شخص في مجموعة زميله في المجموعة الاخرى.
وبنفس الطريقة السابقة نضع جدول التحدي باستخدام المربع اللاتيني:
| A |
D |
L |
|
| كيمياء |
فيزياء |
رياضيات |
K |
| رياضيات |
كيمياء |
فيزياء |
S |
| فيزياء |
رياضيات |
كيمياء |
T |
فكما نرى ان D من المجموعة الاولى سيواجه من K من المجموعة الثانية في مادة الفيزياء و S في الرياضيات ويتحدى T في الكيمياء. ولكن السؤال متى سيكون التحدي بين كل عضوين اذا ما زلنا ان نفس الايام السابقة هي فقط المخصصة للمسابقة؟ في الواقع ولحسن الحظ حتى هذا السؤال يمكن ان نحصل على اجابته باستخدام المربع اللاتيني:
| A |
D |
L |
|
| الخميس, كيمياء |
الثلاثاء, فيزياء |
الاحد, رياضيات |
K |
| الاحد, فيزياء |
الخميس, رياضيات |
الثلاثاء, كيمياء |
S |
| الثلاثاء, رياضيات |
الاحد, كيمياء |
الخميس, فيزياء |
T |
وفي احدى المسائل التاريخية الشهيرة أُفترض ان هناك تسعة ضباط يحملون ثلاث رتب عسكرية مختلفة ( ملازم وعقيد وعميد) وموزعين على ثلاث فيالق مختلفة. المطلوب ان نوزع الضباط في شبكة من تسعة خانات بحيث في كل سطر وفي كل عمود يكون لدينا جميع الفيالق وجميع الرتب:
| الفيلق الاول |
الفيلق الثاني |
الفيلق الثالث |
|
| عميد |
عقيد |
ملازم |
الفيلق الاول |
| ملازم |
عميد |
عقيد |
الفيلق الثاني |
| عقيد |
ملازم |
عميد |
الفيلق الثالث |
وفي عام 1782 افترض اويلر ما يلي:
ان هناك 6 فيالق عسكرية في كل فيلق يوجد 6 ضباط برتب مختلفة. المطلوب ان نوزع الضباط في شبكة من 36 خانة بحيث في كل سطر وفي كل عمود يكون لدينا جميع الفيالق وجميع الرتب. اطلق اويلر على هذه المسألة اسم ( مسألة الضباط الـ 36). وبعد ان عجز اويلر عن ايجاد حل لهذه المسألة اقرّ باستحالة وجود هكذا ترتيب. ولم يكتف يذلك, بل اعتقد ايضا
باستحالة تصميم مربعات لاتينية ذات ترتيب عدد زوجي من غير مضاعفات العدد اربعة, فحسب اعتقاد اويلر لا توجد مربعات لاتينية من نوع ( 6x6), (10x10), (14x14), (22x22).
في بداية القرن العشرين اعاد عالم الرياضيات الفرنسي غاستون تاري ( Gaston Tarry) فحص مسألة الضباط الـ 36 بدقة اكثر, ولكن لم يهتدي لنتيجة افضل من اويلر, لذلك اقرّ ايضا بصحة نتائج اويلر.
وفي عام 1960 فاجأ ثلاثة من علماء الرياضيات العالم من خلال اثبات ان اويلر كان مخطأً في كل افتراضاته. فقد تمكن كلٌ من بوز ( Raj Bose) و باركر ( Ernest Parker) و شريخاند ( Sharadchandra Shrikhande)
من اثبات وجود مربعات لاتينية زوجية وليست من مضاعفات العدد 4. فالحالة الوحيدة التي يستحيل فيها تصميم مربع لاتيني هي الترتيب 6 ( طبعا اذا لم نأخذ الترتيب رقم 1 و 2 بعين الاعتبار, فمن البديهي استحالة وجود هكذا مربعات).
في الامثلة السابقة رأينا ان هناك اثنين من المربعات ذات الترتيب 3 (3x3) متعامدة ومتبادلة مع بعضها البعض. وبالنسبة للترتيب 4 يمكننا تحقيق ثلاث مربعات متعامدة بشكل متبادل مع بعضها البعض. وهذا يعني استحالة وجود مربعا متعامدة ومتبادلة مع بعضها البعض اكثر من (n-1) اذا كان المربع اللاتيني من الترتيب (nxn). فمثلا اذا كان المربع اللاتيني من الترتيب (10x10) فانه يستحيل ان نتمكن من الحصول على اكثر من تسعة مربعات متعامدة ومتبادلة بين بعضها البعض.
والعثور على هكذا مربع يمكن ان يدخلك تاريخ الرياضيات من اوسع ابوابه, فلمَ لا تحاول عزيزي القارئ؟
مواضيع ذات صلة:
- المربع السحري في الرياضيات 
المربع اللاتيني في الرياضيات
رد مع اقتباس
المشاركة الأصلية كتبت بواسطة رجل كهل
