ثابت الدائرة باي (π )
يعرف ثابت الدائرة, والذي يرمز اليه بالحرف الاغريقي باي (π) على انه ناتج قسمة محيط الدائرة على قطرها, والعلاقة ما بين المحيط والقطر لا علاقة له بمساحة الدائرة. فسواء كبرت الدائرة ام صغرت تبقى قيمة π ثابتة. واذا كانت الدائرة هي المكان الطبيعي للـ π فانه ايضا يمكن ان نجد هذا الثابت في اماكن اخرى من الرياضيات, بل في اماكن بعيدة جدا عن الدائرة.
لم يكن الاهتمام بالعلاقة ما بين ميحط الدائرة وقطرها وليد اليوم, بل نجد اثار ذلك الاهتمام حتى في العصور القديمة. فقد لاحظ البابليون, حوالي قبل 2000 عام من ميلاد السيد المسيح, ان محيط الدائرة اكبر من قطرها بحوالي 3 مرات.
ولكن اول من وضع النظريات حول ثابت الدائرة هو العالم الاغريقي الشهير ارخميدس, حوالي قبل 225 عام من ميلاد السيد المسيح, ذلك العالم الذي بلا شك من اعظم رجال العلم في التاريخ وعادة ما يضعه علماء الرياضيات بمنزلة كارك غاوس ( Carl Gauss) واسحاق نيوتن. ولم تكن انجازات ارخميدس مقتصرة على الرياضيات فقط. بل برع ايضا في علوم الفيزياء والفلك, بل كانت له اهتمامات حتى في الاسلحة وتطويرها حيث انه اول من ابتكر المرآة الحارقة ومعدات الحصار. ومع هذا فقد سجل التاريخ لارخميدس مواقف مثيرة للجدل. فمثلا عندما جاءته فكرة قاعدة الطفو قفز فرحا وراح يركض في الشارع عاريا وينادي "وجدتها, وجدتها"! ولكم ان تتخيلوا فرحته بتحديده قيمة ثابت الدائرة!
واذا كنا قد عرفنا ثابت الدائرة بانه العلاقة ما بين محيط الدائرة وقطرها, فما هي علاقته بمساحة الدائرة؟ نحن نعلم ان مساحة الدائرة تساوي نصف القطر (r) تربيع مضروبا بثابت الدائرة, وبالتالي فان π هو حاصل قسمة مساحة الدائرة على نصف قطرها التربيعي. مما يعني انه يمكن تعريف π سواء باستخدام مساحة الدائرة ام محيطها.
كيف يمكن اثبات ذلك؟
يمكن ان نقسم الدائرة الى عدة مثلثات صغيرة ومتساوية, قاعدة كل مثلث نرمز اليها بالحرف b , ونصف قطر الدائرة r, مما يشكل لدينا مضلع منتظم داخل الدائرة.
كما ان كل زوج من المثلثات المتجاورة يمكن ان يشكل مستطيلا (اذا عسكنا قمة وقاعدة احد المثلثين) حيث يكون لدينا :
واذا كانت مساحة كل مثلث تساوي b*r، واذا افترضنا ان الدائرة تحتوي على 10 مثلثات, كما في الشكل الاول, وبالتالي فانه يكون لدينا 5 مستطيلات. وذلك يعني ان مساحة كامل المضلع:
5*b*r
ولان (5*b) تساوي تقريبا نصف المحيط فاننا نرمز اليه بثابت الدائرة مضروبا بنصف القطر (r), وبالتالي فان مساحة المضلع تساوي ثابت الدائرة في نصف القطر تربيع (r*r* π). وهي ذاتها مساحة الدائرة!
ارخميدس قدر ان قيمة ثابت الدائرة تقع ما بين 223/71 و 220/70. وكنتيجة لذلك تم تحديد القيمة بـ 22/7. ويعود الفضل بتحديد هذه القيمة الى عضو الجمعية الملكية البريطانية وعالم الرياضيات وليام جونز (William Jones), والذي كان احد زملاء العالم الشهير اسحاق نيوتن.
ومع ذلك فانه حتى اليوم لا يمكننا تحديد قيمة ثابت الدائرة بكل دقة, نظرا لكونه عدد غير نسبي. حيث ان جميع المحاولات تقودنا الى كمية لا متناهية من مراتب الاعداد العشرية. ولذلك تقتصر اليوم قيمة ثابت الدائرة على ( 3.14) , وهي قريبة جدا من الجذر التربيعي للعدد 10, والتي تساوي (3.16).
ومن اشهر محاولات الوصول الى القيمة الدقيقة لثابت الدائرة هي استخدام المتسلسات العددية, مثل:
ولكن هذه الطريقة معقدة للغاية ولا توصلنا بسهولة الى عدد قريب من القيمة الفعلية للعدد باي. وافضل منها ما وضعه عالم الرياضيات السويسري ليونهارت اويلر (Leonhard Euler):
وقد نجح الهندي رامانجن (Srinivasa Ramanujan) بالاقتراب جدا من حل معضلة ثابت الدائرة عندما اقترح ان قيمته تساوي:
مع ان البريطاني وليام شانكس ( William Shanks) تمكن من حساب باي الى 707 من الرتب العشرية. وفي عام 2002 وباستخدام الكمبيوتر الرقمي تمكن العلماء من الوصول الى 1241100000000 من الرتب العشرية للعدد باي.
والفائدة الوحيدة من محاولات الوصول الى كل هذه الرتب العشرية هي فقط ضمن صناعة اجهزة الكمبيوتر الرقمي وتطورها واختبار مدى حدودها. والا فجميع العمليات الرياضية والحسابية التي تستخدم باي يمكنها الاكتفاء بمرتبتين من الاعداد العشرية.
ومن ضمن خواص ثابت الدائرة التي توصل اليها العلماء:
- انه لا يمكن ان يكون عددا كسريا.
- لا يمكن ان يكون جوابا لاي معادلة جبرية.
- من المستحيل ان نجد مربعا له نفس مساحة الدائرة. وذلك لان مساحة الدائرة اولا تقريبية وثانيا لانها تتعلق بثابت الدائرة. وبالتالي فمن الاستحالة ان نجد عددا نضربه بنفسه ليساوي قيمة باي.
رد مع اقتباس
المشاركة الأصلية كتبت بواسطة علوش الذهبي
