فضاء هلبرت: عالم متعدد الأبعاد
د. أحمد عبد الرزاق سلمان
تدريسي في قسم علوم الفلك والفضاء
مدير وحدة الإعلام والمعلوماتية
في فروع عديدة في الفيزياء، طالما سمعنا عن مصطلح ربما أثار فينا شيئا من التساؤل، وهو مصطلح (البعد الرابع). هذه الكلمة التي تثير في مخيلتنا صورا عن المجهول الذي لا يمكن التكهن به أو التحكم بمسيره أو حتى تصوره بسهولة. فنحن بحكم طبيعة بناء أجسامنا وعالمنا الذي نعيش، قد تعودنا في حياتنا اليومية على تخيل والعيش في نظام ثلاثي الأبعاد. فعندما ننظر إلى الغرفة التي نجلس فيها مثلا نرى بعيوننا أرضية الغرفة ممتدة على بعدين (طول في عرض) ونرى الجدران التي تقوم على مستوى الأرضية (الارتفاع) ولا نكاد نستطيع أن نتصور أن هناك أبعادا فيزيائية غير هذه. ونتيجة لبعض المفاهيم البسيطة أيضا أصبح من المعتاد لدينا أن نصف كل بعد من الأبعاد الثلاثة بـ(محور)، أو (مرجع محوري). فلنفس مثالنا عن الغرفة فقد اعتدنا القول أن الأرضية تمثل مستوى هندسي (مكون من بعدين) ويمتد على محورين هما (س و ص) أو (x and y)، والجدار هو البعد الثالث ونصفه أنه ذلك البعد الذي يمتد على المحور (ص) أو (z). لكننا مع هذا نسمع عن البعد الرابع كثيرا. فما هو هذا البعد الرابع؟ وعلى أي محور يمتد؟
قبل أن نتناول مفهوم البعد الرابع لا بد أن نشير أولا إلى أن مفهوم (بُعد dimension) أو (محور axis) في الفيزياء على وجه الخصوص وفي الرياضيات عموما هو مفهوم لازم لتعريف شكل هندسي معين أو حركة معينة. لو كنا نتكلم عن جسم واحد فقط موجود في الطبيعة لما احتجنا إلى تعريف البُعد أو المحور، لكن بما أن هناك أجسام عديدة في الطبيعة، وبما أن كل قياس بدون مرجع هو قياس غير دقيق، ظهر مفهوم المحور والبُعد. ولتعريف شكل أي جسم أو حركته لا بد أن نستخدم قياسا مضبوطا لنضمن تمييز شكل الجسم، فنستعمل البُعد هنا، أو لوصف حركة هذا الجسم في اتجاه معين فنستعمل مفهوم المحور هنا. مثلا، أبسط الأشكال الهندسية (الخط المستقيم) لا بد أن نعرفه بنقطتين على الأقل هما (نقطتي البداية والنهاية)، بالتالي يمكننا أن نرسم الخط المستقيم على بُعد واحد باستخدام محور واحد، مثل (محور x)، ونقول حينها (هذا المستقيم بدأ من نقطة x1=0وانتهى إلى نقطة x2=10، وطوله هو x2-x1=10 بأي وحدات قياس). وعندما نريد أن نرسم خطين مستقيمين متقاطعين فهنا لا بد أن نلجأ إلى استخدام بُعدين أو محورين، والشكل الهندسي الناتج اعتدنا أن نسميه (مستوي). ولرسم مستوي سنحتاج إلى بُعدين لنقول (هذا المستوي معرف على أنه يمتد بين الأزواج المتبادلة الأربعة للنقاط الهندسيةx1,y1,x2,y2))، أي من (x1,y1) و (x1,y2) إلى (x2,y1) و (x2,y2)، ومساحته هي حاصل ضرب طوله في عرضه في جيب الزاوية بينهما، مقاسة بوحدات المساحة). ونفس الشيء لوصف جسم هندسي في ثلاثة أبعاد. وإذا أردنا أن ندفع الأمور نحو شيء من التعقيد ونرسم خطا مستقيما، مثلا، في فضاء ثلاثي الأبعاد فعلينا أن نتبع نفس الطريقة المذكورة في تعريف الخط المستقيم ألا وهي تعريف نقطتي البداية والنهاية، فنقول (هذا المستقيم يبدأ من النقطة الثلاثية (x1,y1,z1) وينتهي في النقطة الأخرى (x2, y2, z2)، وطوله هو جذر مجموع مربعات الفرق بين هذه المحاور، مقاسا بوحدات الطول). الخ.
الأمر الذي يهمنا أن نذكره هو، أننا دائما نلجأ إلى أقل عدد ممكن من الأبعاد أو المحاور لوصف شكل جسم معين أو حركته. فمن غير المنطقي، مثلا، أن يكون الخط المستقيم الذي له بعد واحد، ونريد أن نرسمه منطبقا على محور (x) فقط، ونقول أن هذا الخط المستقيم يبدأ من النقطة الثلاثية (x1,0, 0) وينتهي في النقطة (x2, 0, 0). هذا الوصف سيبقى وصفا صحيحا، لكنه وصف غير منطقي وليس عمليا، وذلك لأن المحور (x) لوحده يعتبر كاف لوصف الشكل الذي نريد أن نصفه. أذا نحن نلجأ إلى أبعاد أو محاور جديدة عندما لا نتمكن من وصف حركة أو شكل جسم ما باستخدام المحاور المتوفرة.
ومعنى قولنا (أنه صحيح، لكنه غير منطقي) هو أن الاستخدام المفرط للأبعاد قد لا يزال يصف شكل أو حركة الجسم بدقة، لكن هذا الاستخدام المفرط سيعقد المشكلة بدلا من أن يبسطها. وكل حل يعقد المشكلة التي يحاول علاجها بدلا من تبسيطها يعتبر حلا غير منطقي، وإن كان صحيحا. فمن أساسيات المنطق العلمي السليم، هو أن المشكلة تحل بأن يتم تبسيطها إلى أسهل صورة أو نتيجة صحيحة، وبطريقة مقبولة. أما الحلول من النوع الذي يعقد المشاكل، فهذه الحلول تعتبر مشكلة بحد ذاتها وهي تحتاج إلى حل. هذا المفهوم المهم والبسيط لا ينطبق في الفيزياء أو الرياضيات فقط، بل أنه صحيح حتى على مستوى اجتماعي أيضا.
ولنعد هنا إلى مفهوم (البُعد الرابع). هذا البُعد، من ما سبق، ينشأ من محور إضافي غير المحاور الثلاثة التي اعتدنا عليها. وهو أنما يضاف عندما لا نتمكن من وصف شكل أو حركة معينة باستخدام ثلاثة أبعاد فقط. لهذا في الفيزياء خصوصا نستخدم البُعد الرابع كثيرا عندما نريد أن نصف حركة جسم في فضاء ثلاثي الأبعاد. ولغرض التمكن من وصف هذه الحركة، نحتاج بصورة أكيدة إلى أن نصف (موقع الجسم في لحظة زمنية معينة). هذا يعني أننا لا بد أن نستخدم الأبعاد الثلاثة للفضاء الوجودي الملموس إضافة إلى (الزمن)، فمن هنا نقول (أن حركة الجسم في فضاء ثلاثي الأبعاد تحتاج إلى أربعة أبعاد).
لهذا يظهر لنا في الواقع أن أبسط مثال عن البُعد الرابع هو بُعد (الزمن). مرة ثانية، نشير إلى أننا في عالمنا اليومي معتادون على النظر والتفاعل مع الموجودات وفقا لثلاثة أبعاد فضائية والتي تسمى مجازا أبعاد (الطول، العرض والارتفاع)، أو التي تسمى بصورة دقيقة (البعد الأفقي، البعد العمودي والبعد القائم). هذه الأبعاد الثلاثة تجمع وتسمى اختصارا واصطلاحا (بالإحداثيات الموضعية الفضائية Spatial Space، أو الفضاء الإقليدي Euclidean Space). لكننا أيضا معتادون على التعامل مع الزمن الذي يعرف (أنه الفترة المحصورة بين حدثين متتابعين). والإحداثيات الثلاثة (الإقليدية) إضافة إلى إحداثي الزمن، تسمى (الإحداثيات الأربعة، أو فضاء منكوفسكي Minkowski Space) وهي (ثلاثة إحداثيات موضعية زائدا إحداثي الزمن).
عندما نصف حركة جسم معين في الفضاء سنحتاج أيضا إلى تعريف البُعد الخاص بالزمن، أو البُعد الرابع، الذي يضاف إلى الأبعاد المادية الثلاثة ليقدم وصفا كاملا لحركة الجسم، بل يستخدم لوصف موضع الجسم المتوقف كذلك.
مثلا، أنا الآن موجود في إحداثيات معينة (في العراق-بغداد-المنطقة كذا... بيتي.. غرفتي، الكرسي الذي أجلس عليه، الآن.. أثناء كتابتي لهذه الأسطر). هذا الوصف يتضمن أبعادا محددة في الفضاء، أي أنني الآن موجود في النقطة الثلاثية (x,y,z). لكن، في نفس المكان قبل 100 عام مثلا، أنا لم أكن موجودا هنا، مع أن هذا المكان هو نفسه وهذه هي نفس الإحداثيات الموضعية لمكاني. وبعد فترة لن أكون موجودا هنا أيضا. لهذا إذا أردت أن اصف موضعي الحالي بدقة قياسية غير قابلة للشك، سأحتاج إلى إدراج بُعد الزمن (t)ليكتمل وصفنا. عندها سنقول أن الكاتب موجود في الإحداثيات (x,y,z,t). وهناك مبدأ كلاسيكي لكنه مهم لتفسير موضع الأجسام الكبيرة الحجم فقط، يقول باستحالة تواجد جسمين من أي نوع في نفس الإحداثيات في نفس اللحظة، لكن هذا المبدأ قد يم تعديله حسب نظرية الكم بصورة جذريةـ فأصبح ذو معنى آخر ومختلف كثيرا، سنشير إليه بالتفصيل في مقال قادم.
ويمتاز بُعد الزمن كما نعرفه كلاسيكيا بأنه يتحرك باتجاه واحد فقط وبسرعة ثابتة، أي انه بُعد لا يمكننا التحكم في الحركة خلاله، على الأقل لحد الآن لأسباب تقنية فقط – أي لأننا لا نعلم كيف نصنع آلة تقوم بهذا العمل. إلا أن تغيير الحركة في هذا البُعد ممكنة من الناحية النظرية ولهذا التغير نتائج خيالية تماما. هذا من وجهة النظر الكلاسيكية، أما من حيث أساسيات النظرية النسبية العامة لأينشتاين، فالزمن هو بُعد حاله مثل حال أي بُعد آخر يمكن التحرك خلاله بأي اتجاه (للأمام أو نحو الخلف).
أعتقد أن معظمنا قد شاهد الفيلم الشهير (آلة الزمن Time Machine) المبني على قصة الكاتب (هيربرت جورج ويلز H. G. Wells1866 إلى 1946) التي نشرت لأول مرة في العام 1895، وهي قصة عالم فيزياء شاب وطموح يحاول أن يخترع فيها آلة يسير بها خلال الزمن – البُعد الرابع، ويختار أن يتقدم بالزمن إلى أوقات يمكن تحديدها. بعدها يسافر هذا العالم بالفعل مستخدما آلته نحو المستقبل ليرى كيف أن العالم يتغير بسرعة إلى حضارة متقدمة جدا إلى الدرجة التي بدأ الناس يبحثون فيها عن مساكن على سطح القمر، ثم لتحدث كوارث عديدة منها حروب مدمرة ومنها أن يختل مسار القمر حول الأرض، لتدخل الأرض بعدها في عصر جليدي يقضي على معظم أشكال الحياة ويهدد وجود البشر. ثم ينتهي العصر الجليدي بأن تعود البشرية لكن إلى عصر ما قبل الصناعة.. الخ. القصة ممتعة جدا وتعكس وجهات نظر عديدة حول أسئلة علمية واجتماعية وفكرية، كن فكرة هذه القصة، من الناحية العلمية البحتة على الأقل، هي ممكنة إلى حد كبير.
بعد أن قدمنا مفهوما بسيطا عن البُعد الرابع، لنسأل عن أشياء أخرى لندفع بأفكارنا قليلا خطوة أخرى نحو الأمام. فإذا كانت هناك أمكانية لوجود بُعد رابع، فهل بالإمكان اللجوء إلى القول أن هناك بُعد خامس أو سادس أو.. عاشر ربما؟ وما هو أكبر عدد ممكن للأبعاد والمحاور المحتملة في الكون؟
نعود هنا للتذكير أننا عندما نريد أن نصف شكل أو حركة جسم ما ولا تكفي الأبعاد التي بين أيدينا، نلجأ إلى استخدام بعد آخر إضافي، شرط أن يكون استخدمنا هذا منطقيا ولا يعقد المسألة. ولغرض تقديم الإجابة بأبسط مثال لنتصور هنا أننا نريد أن نصف مجموعة من الأشخاص، ليس حسب أسمائهم بل حسب موضعهم الفضائي والزمني، وحسب أوزانهم. هنا سنحتاج إلى الأبعاد الأربعة (الفضاء الموضعي والزمن) إضافة إلى بُعد آخر وخامس نسميه (بُعد الوزن أو فضاء الوزن)، وسيصبح لدينا في هذه الحالة (خمسة أبعاد). لنقل أننا أردنا أن نضيف إلى وصفنا لنفس الأشخاص ميزة أخرى، لون الشعر مثلا، والجنس (ذكر أم أنثى) لوصف نفس المجموعة. وهنا سنقول أننا سنحتاج إلى أن نعرف (سبعة أبعاد)، هي: ثلاثة أبعاد فضائية موضعية، بُعد الزمن، بُعد الوزن، بُعد لون الشعر و بُعد الجنس. وعندها سنقول من دون أن نخطئ أن كل صفة من الصفات أعلاه تمثل محورا (أو بعدا فضائيا مرجعيا) يمكن من خلالها تعيين حالة شخص ما من هذه المجموعة. وهذه أبعاد متعددة أكثر من ثلاثة أو أربعة. لكن لنا أن نكون ممتنين أننا نحمل عناوين تميزنا من خلال ربط أشكالنا مع أسمائنا، وإلا لأصبح وصف أحدنا للآخر طويلا ومملا!
وفي الفيزياء نضطر في كثير من الأحيان إلى استخدام أبعاد عديدة، وخصوصا في فروع الفيزياء الحديثة التي تعتمد على الميكانيك الكمي الذي وضع من قبل شرويدنكر وهايزنبرك كلا على حدة. فنفس المثال سينطبق إذا أردنا أن نصف جسيم له كتلة معينة، وشحنة، وبرم أو لف مركزي، وحركة في أبعاد ثلاثة، وعمر زمني، وطاقة، وزخم.. الخ. وفي مثل هذه الحالة قد نستخدم نظاما من عدة أبعاد.
من هنا سنتمكن من الوصول إلى نتيجة ملخصها يقول التالي: (يمكن أن يكون هناك عدد لا نهائي من الأبعاد في الفضاء). هذا هو الفضاء مثلما وصفه العالم (هلبرت)، والذي يسمى اصطلاحا (فضاء هلبرت Hilbert Space). وكان لهذا المفهوم أثر كبير في تطور الفيزياء الحديثة وغير من مفاهيمنا الأساسية حول تعريف الفضاء، خصوصا في ما يخص الجسيمات الفائقة الصغر مثل الالكترونات والنويات، فأصبحت العبارة الكلاسيكية أعلاه (يستحيل وجود أي جسمين في نفس الإحداثيات) عبارة غير دقيقة إلى حد كبير، إذ أنها أصبحت صحيحة للأجسام الكبيرة فقط.
إذا، هناك عدد لا نهائي من الأبعاد في الكون. ونحن نأخذ من هذه الأبعاد ما يكفي لوصف حركة جسم أو شكله فقط وبالطريقة التي تجعل وصفنا هذا دقيقا وبأبسط صورة ممكنة البلوغ. أخيرا يمكننا أن نتوصل إلى أن فضاء هلبرت اللانهائي الأبعاد هو الحالة العامة، وأن فضائي منكوفسكي و إقليدس هما فقط حالتين خاصتين منه.
معلومات مفيدة:
الفضاء الإقليدي سمي نسبة إلى (إقليدس Euclid) والذي يسمى أحيانا (إقليدس الإسكندري Euclid of Alexandria – نسبة إلى مدينة الإسكندرية المصرية)، وهو عالم رياضيات إغريقي ولد حوالي 300 عام قبل الميلاد ويعتبر مؤسس الرياضيات الهندسية.
فضاء منكوفسكي سمي نسبة إلى عالم الرياضيات الألماني (هيرمان منكوفسكي Hermann Minkowski) الذي ولد في 22 حزيران (يونيو) 1864 وتوفي في 12 كانون الثاني (يناير) 1909. يعتبر منكوفسكي مؤسس (هندسة الأرقام) حيث استخدم مفاهيم هندسية لحل مسائل عديدة في الفيزياء الرياضية.
فضاء هلبرت سمي نسبة إلى عالم الرياضيات الألماني (ديفيد هلبرت David Hilbert) الذي عاش للفترة 23 كانون الثاني (يناير) 1862 إلى 14 شباط (فبراير) 1943. ويعتبر هلبرت من أبرع علماء الرياضيات في نهاية القرن التاسع عشر وبداية القرن العشرين، فقد أسس مفهوم (الفضاء متعدد الأبعاد Multi-dimensional Space) كما طور (نظرية البداهة في الهندسة الرياضية geometry axiomatization) و(نظرية عدم الانقلاب الرياضي Invariant theory).
الميكانيك الكمي: هو وصف لحركة الجسم وحالته بالاعتماد على تصرف الموجة التي ترافقه. سنتطرق إن شاء الله مستقبلا إلى هذا الفرع المهم من فروع الفيزياء بشيء من التفصيل. أقترح نظرية الميكانيك الكمي من قبل العالم الفيزيائي الألماني (فيرنر كارل هايزنبرك Werner Karl Heisenberg 5 كانون الأول 1901 إلى 1 شباط 1977) وحصل منها على جائزة نوبل في الفيزياء في العام 1932، وبصورة منفصلة ومغايرة رياضيا من قبل العالم الفيزيائي النمساوي (إيروين رودولف شرودنكر Erwin Rudolf Schrödinger ، 12 آب 1887 إلى 4 كانون الثاني 1901)، وحصل منها على جائزة نوبل في الفيزياء للعام 1933.
رسم لإقليدس (عالم رياضيات إغريقي ولد حوالي 300 عام قبل الميلاد) وهو يحاضر في مدرسة رافائيل في أثينا.
عالم الرياضيات الألماني (هيرمان منكوفسكي Hermann Minkowski) 22 حزيران 1864 إلى 12 كانون الثاني 1909.
فيرنر هايزنبرك (Werner Heisenberg)، 5 كانون الأول 1901 إلى 1 شباط 1977، وحائز على نوبل في الفيزياء للعام 1932
إيروين شرودنكر (Erwin Rudolf Schrödinger)، 12 آب 1887 إلى 4 كانون الثاني 1901، وحاصل على جائزة نوبل في الفيزياء للعام 1933.
عالم الرياضيات الألماني (ديفيد هلبرت David Hilbert) ، 23 كانون الثاني 1862 إلى 14 شباط 1943.
مجلة علوم الالكترونية
رد مع اقتباس
المشاركة الأصلية كتبت بواسطة العندليب الابيض
