محتويات
- حجم الأسطوانة
- حجم الاسطوانة المجوفة
- مساحة سطح الاسطوانة
- تمارين على حجم الأسطوانة
- شرح تمرين عن حساب حجم الأسطوانة
حجم الأسطوانة
الأسطوانة هي عبارة عن شكل ثلاثي الأبعاد له قاعدة دائرية ويمكن النظر إلى الأسطوانة على إنها مجموعة دائرية من الأقراص المكدسة فوق بعضها البعض تخيل وجود صندوق أسطواني لحفظ السكر كيف يمكننا حساب كمية السكر التي نحتاجها لملء هذه الأسطوانة وهلكي نحدد ذلك يجب معرفة سعة أو حجم هذه الأسطوانة فسعتها هي حجمها ولذا يعتبر حجم الشكل الثلاثي الأبعاد مساويًا لمقدار هذه المساحة التي يشغلها الشكل .
الأسطوانة هي مجموعة من الأقراص المتعددة والمتطابقة والتي تتكدس فوق بعضها البعض ولكي نحسب المساحة التي تشغلها نقوم بحساب المساحة التي يشغلها كل قرص ثم نقوم بجمعهم سويًا وحجمها عبارة عن كثافة الأسطوانة التي تعني كمية المادة التي تستطيع حملها أو مقدار أي مادة يمكن غمرها فيها ويمكن أن تكون المادة سائلة مثلًا وهنا يمكن القول أننا نستطيع تحديد حجم الأسطوانة عن طريق حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع وهي الصيغة الرياضية πr^2h والتي تعني :
- r هو نصف قطر القاعدة الدائرية = نق
- h هو ارتفاع الأسطوانة.
- باي .
حيث يمكن القول أن في الأسطوانة نق هو “r” وارتفاعها هو “h” وهنا سوف يكون الحجم عبارة عن حاصل ضرب القاعدة في الارتفاع أي = منطقة القاعدة × ارتفاع الاسطوانة والقاعدة هنا هي الدائرة فسون يكون الحجم على هيئة المعادلة = πr^2 × h إذن حجم الأسطوانة = πr^2h من الوحدات المكعبة.[1] ، [2]
حجم الاسطوانة المجوفة
أما عند قياس حجم الأسطوانة المجوفة فأننا نقوم بقياس نصفي القطر الخاصين بالدائرتين أحدهما هو نصف قطر الدائرة الداخلية والأخر هو نصف قطر الدائرة الخارجية وهي المكونة من قاعدة الأسطوانة المجوفة وهنا نقول أن نصفي قطر الأسطوانة المجوفة هم r1 و r2 مع الارتفاع h وفي هذه الحالة فأننا نقوم بحساب حجم هذه الأسطوانة عن طريق القانون الآتي : (V = πh (r1^2 – r2^2
مساحة سطح الاسطوانة
يمكن القول أن مساحة سطح الأسطوانة هي عبارة عن كمية من الوحدات المربعة والمطلوبة لكي تغطي سطح الأسطوانة ويمكن حساب مساحة سطح الأسطوانة عن طريق مجموع إجمالي لمساحة سطح قواعد الأسطوانة مع مساحة سطح جوانبها وهو ما يعبر عنه بالمعادلة التالية :
A = 2πr^2 + 2πrh
ويجب ملاحظة الوحدات المستخدمة مع المسألة للتمييز وطرق التحويل بينهم فلحساب حجم الأسطوانة باللتر عندما تكون المعطيات بالسنتيمتر المكعب يجب تحويل القيمة وذلك عن طريق معرفة أن كل 1 لتر = 1000 سم مكعب أو سم 3 ومن أمثلة التحويل إذا كان أحد المعطيات أن الأنبوب الأسطواني حجمه هو 12 لترًا فهنا لكي نحوله نقوم بكتابة الحجم بالطريقة التالية : 12 × 1000 سم 3 = 12000 سم 3
تمارين على حجم الأسطوانة
التمرين الأول : قم بحساب حجم أسطوانة ما ارتفاعها = 20 سم ونصف قاعدتها هو 14 سم مع العلم أن باي = pi = 22/7
الحل : المعطيات هي :
- الارتفاع = 20 سم
- نصف القطر أو نق = 14 سم
ومن معادلة حساب حجم الأسطوانة التي تقول أن الحجم V = πr^2h وحدات مكعبة
أذن الحل = v = (22/7) × 14 × 14 × 20
V = 12320 سم 3
إذن حجم الأسطوانة = 12320 سم 3
التمرين الثاني : قم بحساب نصف قطر نق الخاص بقاعدة وعاء أسطواني حجمه هو 440 سم 3 مع العلم أن ارتفاع الحاوية الأسطوانية هو 35 سم وأن باي = pi = 22/7
الحل : المعطيات :
- الحجم = 440 سم مكعب
- الارتفاع = 35 سم
نحن نعرف بالفعل من صيغة معادلة حجم الاسطوانة أن الحجم هو V = πr^ 2h وحدات مكعبة
لذا عند التعويض بالمعطيات في المعادلة نجد أن 440 = (22/7) × r^2 × 35
ثم r^2 = (440 × 7) / (22 × 35) = 3080/770 = 4
لذلك r = 2 سم
إذن نصف قطر الأسطوانة = 2 سم.[1]
التمرين الثالث : قم بحساب حجم الأسطوانة التي يبلغ نصف قطرها 88 سم ويبلغ ارتفاعها 15 سم .
الحل : المعطيات
- الارتفاع = 15 سم
- نصف القطر أو نق = 8 سم
ونحن نعرف بالفعل صيغة معادلة حجم الاسطوانة وهي V = πr^ 2h وحدات مكعبة لذا نقوم بالتعويض بالمعطيات فنجد أن
V = π (64) (15) ≈3016
ومن هذه المعادلة ينتج أن حجم الأسطوانة يبلغ حوالي 30163016 سم مكعب.[2]
شرح تمرين عن حساب حجم الأسطوانة
في أسطوانة خاصة بالمناشف الورقية وضح كيفية حساب حجم الأسطوانة مع التقريب لأقرب جزء من المائة إذا كان الارتفاع يبلغ 30 سم وقطر الأسطوانة الكبيرة يبلغ 16 سم وقطر الأسطوانة الصغيرة بداخلها يبلغ 4 سم .
الحل :
أولًا يمكننا أن نلاحظ أن لفافة المناشف الورقية تأتي على شكل أسطوانة وهي فارغة من المناشف ولا يوجد أي شيء يملئها وهذا يعني أن مركزها مجوف ويوجد بداخلها مكان يتم إدخال حامل المناشف الورقية به وهنا لكي نستطيع تحديد حجم هذة الأسطوانة فيجب علينا حساب حجم الأسطوانة الكبيرة أولًا ثم نطرح منها حجم الأطوانة الصغرى الموجودة بداخلها أي نقوم بإيجاد حجم الإسطوانة بأكملها ثم نحذف حجم المركز الداخلي المجوف الذي لا يحتوي على أي مناشف ورقية .
وحجم الأسطوانة يساوي مساحة القاعدة في الارتفاع أي ح = م × ف وهنا نلاحظ أن قاعدة الأسطوانة تكون دائرية الحجم لذا نقوم بتبديل نق
رد مع اقتباس