محتويات
- اثبات العلاقات بين الزوايا
- خصائص الزوايا المتطابقة
- الزوايا التكميلية والمكملة
- البراهين الخطية والزاوية
- إثبات نظريات الخط والزاوية
- البرهان الجبري
- امثلة على البرهان الجبري
- النظريات المتعلقة بالزوايا
- نظرية الزوايا المستقيمة
- نظرية الزوايا الخارجية البديلة
- نظرية الزوايا الداخلية البديلة
- شرح نظريات الخط والزاوية
- أنواع الزوايا
- العلاقات بين الزاوية
دائما ما يعتبر الكثيرين أن كيفية إثبات علاقات الزوايا باستخدام خصائص الزوايا المتطابقة والتكميلية والتكميلية من الأمور الصعبة، لذا لابد من تعلم المفاهيم وتطبيقها على مشاكل الممارسة، لأن إثبات العلاقات بين الزوايا تجعلك تتساءل هل الوصول إلى البراهين أحيانًا يكون من الأمور الصعبة المليئة بالتعقيد؟
عند فهم تقسيم العلاقة بين الزوايا والبدء ببعض العلاقات الأساسية، وخصائص الزوايا المتطابقة، يمكن أن يساعد ذلك على فهم هذه القواعد في بناء أساس لـ استخدام نظريات وخصائص أكثر تعقيدًا.
اثبات العلاقات بين الزوايا
خصائص الزوايا المتطابقة
الزوايا المتطابقة هي زوايا لها نفس القياس، فعلى سبيل المثال ، إذا كانت لديك زاويتان 62 درجة ، فهما متطابقان، فإن الزوايا المتطابقة لها خصائص مختلفة يمكن أن تساعدك في عمل البراهين معهم:
- تنص الخاصية الانعكاسية على أن الزاوية مطابقة لنفسها، وهذا أمر محير إذا كنت تفكر فيه ، ولكن لا يوجد معنى سري ؛ ولكن هناك بالفعل قاعدة في الهندسة تقول حرفياً أن شيئًا ما يساوي نفسه.
- تنص الخاصية المتماثلة على أنه إذا كانت الزاوية أ تساوي الزاوية ب ، فإن الزاوية ب تساوي الزاوية أ، وتسمى هذه الخاصية متناظرة لأن الكميات على كلا جانبي علامة التساوي متساوية ، وبالتالي فإن المعادلة متماثلة.
- يمكنك قلب A و B من جانب إلى آخر ، ولا يهم، وتنص الخاصية المتعدية على أنه إذا كانت الزاوية A تساوي الزاوية B ، وإذا كانت الزاوية B تساوي الزاوية C ، فإن الزاوية A تساوي الزاوية C.
الزوايا التكميلية والمكملة
هناك بعض النظريات حول الزوايا التكميلية والمكملة، وذلك من خلال أن مجموع الزوايا المكملة يصل إلى 90 درجة ، أو زاوية قائمة، ومجموع الزوايا المكملة 180 درجة ، وهو خط مستقيم.
وتنص نظرية التكميل على أن الزوايا المكملة لنفس الزاوية متطابقة مع بعضها البعض، وكمثال على ذلك فإن الزاوية A والزاوية B كلاهما مكملان لـ 64 درجة، إذن ، يجب أن تساوي الزاوية (أ) والزاوية (ب) 26 درجة.
من هذا ، يمكننا القول إن الزاوية A والزاوية B متساويان، ويعمل هذا حتى لو لم نكن نعرف قيم أي من الزوايا، حتى إذا كنا لا نعرف ما هو x ، فإننا نعلم أن كلا من A و B يساوي 90 – x ، لذلك يجب أن يكونا متساويين.
البراهين الخطية والزاوية
كما أكمل المتخصصين على أن نقطة على المنصف العمودي لقطعة مستقيمة على مسافة متساوية من نقاط نهاية القطعة.
تلميح: نحتاج إلى إظهار أن المسافة بين AAA و DDD هي نفس المسافة بين CCC و DDD.
ومثال ذلك:
- AC⊥BD : تعريف المنصف العمودي.
- AB≅CB : تعريف المنصف العمودي.
- DABDangle، A، B، D & \ angle CBD∠CBDangle، C، B، D كلاهما زوايا قائمة : تعريف عمودي.
- \overline{BD} \cong \overline{BD}BD≅BD : مقاطع الخط متطابقة مع نفسها.
- \triangle ABD \cong \triangle CBD△ABD≅△CBD : افتراض التطابق (2 ، 3 ، 4).
إثبات نظريات الخط والزاوية
تشمل النظريات: الزوايا الرأسية متطابقة؛ عندما يتقاطع المستعرض مع الخطوط المتوازية ، تكون الزوايا الداخلية البديلة متطابقة والزوايا المقابلة لها ؛ النقاط على المنصف العمودي لقطعة مستقيمة هي بالضبط تلك التي تقع على مسافة متساوية من نقاط نهاية القطعة.
الزوايا الرأسية والدليل متساوية إثبات تساوي الزوايا الرأسية.
الزوايا المتوافقة: إذا تم قطع سطرين بواسطة مستعرض وكانت الزوايا المقابلة لها متطابقة ، فإن الخطين يكونان متوازيين.
البرهان الجبري
في بحث عن البرهان الجبري لابد من إلقاء نظرة عامة على الزوايا وخصائصها المشتركة، ثم يستمر لإثبات بعض النظريات الشائعة المتعلقة بالزوايا بمساعدة الرسوم التوضيحية، ومعرفة الزوايا وخصائصها ، وما هي الزوايا؟ وعندما ينضم خطان مستقيمان عند نقطة مشتركة ، فإن الانعطاف المتضمن بينهما يسمى الزاوية، ويتم قياسه بالدرجات أو الراديان.
امثلة على البرهان الجبري
الخصائص المشتركة لنلقِ نظرة على بعض الخصائص الشائعة للزوايا: نقطتان على الخط المستقيم تشكلان زاوية 180 درجة بينهما.
كما يشكل الخط الذي يتقاطع مع مجموعة من الخطوط المتوازية زوايا تقاطع متساوية مع كل الخطوط.
For this set of lines:
النظريات المتعلقة بالزوايا
بعد معرفة بعض أمثلة على البرهان الجبري وكيفية تطبيقه ، سنرى بعض النظريات الشائعة المتعلقة بالزوايا وبراهينها، ونظرية الزوايا المقابلة رأسيًا حيث تنص هذه النظرية على أنه بالنسبة لزوج من الخطوط المستقيمة المتقاطعة ، فإن الزوايا المتقابلة رأسياً متساوية.
نظرية الزوايا المستقيمة
For this pair of intersecting lines:
ولإثبات هذه النظرية ، لنفترض وجود زوج من الخطوط المستقيمة المتقاطعة التي تشكل الزاوية A بينهما.
الآن ، نعلم أن أي نقطتين على خط مستقيم تشكلان زاوية 180 درجة بينهما. لذا ، بالنسبة لزوج من الخطوط ، فإن الزوايا المتبقية على كلا الخطين المستقيمين ستكون 180.
إذن ، الزاوية الأخيرة المتبقية ستكون 180 – (180 – أ) = أ.
هذا يثبت أن الزوايا المتقابلة عموديًا متساوية.
نظرية الزوايا الخارجية البديلة
تنص هذه النظرية على أنه عندما يتقاطع المستعرض مع زوج من الخطوط المتوازية ، فإن الزوايا الخارجية المكونة من كلا الخطين على جانبي المستعرض تكون متساوية، ويسمى هذا الزوج من الزوايا بزوايا خارجية بديلة.
لإثبات هذه النظرية ، لنفترض خطًا أفقيًا يتقاطع مع خط آخر كما هو موضح في هذا ويشكل زاوية A بين السطور.
الآن ، لنفترض وجود خط آخر موازٍ للخط -1. نظرًا لأننا نفهم أن زاوية التقاطع بين المستعرض والخط هي نفسها بالنسبة للخطوط المتوازية ، فإن الزاوية بين السطر 2 والخط المستعرض ستكون أيضًا A.
من النظرية أعلاه ، فهمنا أن الزوايا المتقابلة عموديًا متساوية. لذلك ، ستكون الزاوية الخارجية المتكونة عند الخط 2 هي أيضًا A. ومن ثم ، ثبت أن الزوايا الخارجية البديلة متساوية.
نظرية الزوايا الداخلية البديلة
عندما يتقاطع خطان متوازيان بخط مستقيم ، تتساوى الزوايا المتكونة من الداخل بين كلا الخطين على الجانبين المعاكسين للمستعرض. يسمى هذا الزوج من الزوايا بزوايا داخلية بديلة.
لنفترض وجود زوج من الخطوط المتقاطعة ، مكونًا زاوية داخلية لـ A. والزاوية المقابلة رأسياً ستكون أيضًا A هكذا.
شرح نظريات الخط والزاوية
خذ بعين الاعتبار خطين متوازيين يتقاطعان مع خط ثالث (تذكر أنه يمكن استخدام علامات التجزئة (≫) للإشارة إلى أن خطين متوازيين.) وهذا الخط الثالث يسمى المستعرض.
لاحظ أنه يتم إنشاء أربع زوايا حيث يتقاطع المستعرض مع كل خط، وتحتوي كل زاوية تم إنشاؤها بواسطة المستعرض والخط العلوي على زاوية مقابلة مع زاوية يتم إنشاؤها بواسطة المستعرض والخط السفلي، كما تظهر أزواج الزوايا المقابلة مشفرة بالألوان أدناه.
كيف تعتقد أن هذه الزوايا المقابلة مرتبطة؟
قد يشير حدسك ومعرفتك بالترجمات إلى أن هذه الزوايا متطابقة، ولكن تخيل ترجمة إحدى الزوايا على طول المستعرض حتى تلتقي مع الخط الموازي الثاني.
سوف تتطابق الزاوية المقابلة له بالضبط، كما يُعرف هذا بفرضية الزاوية المقابلة:
- إذا تم قطع خطين متوازيين من خلال عرضية ، فإن الزوايا المقابلة تتطابق.
- تذكر أن المسلمة عبارة يتم قبولها على أنها صحيحة بدون دليل.
- يجب أن تقنعك معرفتك بالترجمات أن هذه الفرضية صحيحة.
دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة الخاصة بالمشكلات.
- تذكر أن الزوايا الرأسية هي زوج من الزوايا المتقابلة تم إنشاؤها بواسطة خطوط متقاطعة.
- يثبت أن الزوايا الرأسية متطابقة.
- لهذا الدليل ، لا يتم منحك صورة محددة.
- عند عدم إعطاء صورة من المفيد إنشاء صورة عامة للإشارة إليها في الدليل.
- من المهم ألا تتضمن الصورة أي معلومات لا يمكن افتراضها.
- فيما يلي صورة عامة الخطوط المتقاطعة ذات الزوايا المرقمة كمرجع.
أنواع الزوايا
أظهرت الدراسات الهندسة الخاصة بك زوايا حادة وصحيحة ومنفرجة، وربما تكون قد تعلمت أيضًا عن الزوايا المستقيمة والانعكاسية ، ولكن إذا كنت تريد معرفة المزيد ، فيمكنك استكشاف العديد من أنواع الزوايا الأخرى مثل الزوايا الخارجية والداخلية.
حيث يمكنك التعرف على الزوايا المتطابقة والمجاورة والعمودية والمتناظرة والمتناوبة أيضًا، لأن الأنواع المختلفة من الزوايا قبل الانغماس في ذلك ، دعنا نحدد الزوايا المختلفة التي يمكننا دراستها:
- الزوايا المتطابقة.
- الزوايا المجاورة.
- الزوايا العمودي.
- الزوايا المتوافقة.
- الزوايا الخارجية.
- زوايا خارجية متتالية.
- الزوايا الخارجية البديلة.
- الزوايا الداخلية.
- زوايا داخلية متتالية.
- الزوايا الداخلية بديلة. [5]
العلاقات بين الزاوية
بالإضافة إلى قياس الدرجات حيث يمكنك أيضًا مقارنة الزوايا والنظر في علاقاتها بالزوايا الأخرى، ونتحدث عن علاقات الزوايا لأننا نقارن الموضع والقياس والتطابق بين زاويتين أو أكثر.
- فعلى سبيل المثال ، عندما يتقاطع خطان أو مقطعان من الخطوط ، فإنهما يشكلان زوجين من الزوايا الرأسية.
- عندما يتقاطع خطان متوازيان من خلال شكل مستعرض للعلاقات المعقدة ، مثل الزوايا الداخلية المتناوبة ، والزوايا المتناظرة ، وما إلى ذلك.
ستجعلك القدرة على تحديد العلاقات بين الزاوية ، والعثور بثقة على زوايا متطابقة عندما تتقاطع الخطوط ، طالب هندسة أفضل، كما ستحل المشكلات المعقدة بشكل أسرع عندما تكون على دراية كاملة بجميع أنواع العلاقات الزاوية.
رد مع اقتباس